Ahlfors teorisi
Ahlfors teorisi , Nevanlinna teorisinin geometrik bir karşılığı olarak Lars Ahlfors tarafından icat edilen matematiksel bir teoridir . Ahlfors, 1936’da bu teori için ilk iki Alan Madalyası’ndan birine layık görüldü .
Kaplama haritalarının temel özelliklerinin, iyi tanımlanmış bir anlamda “neredeyse kaplama” olan haritalara genelleştirilmesi olarak düşünülebilir . Uyumlu Riemann metrikleri ile donatılmış sınırlanmış Riemann yüzeyleri için geçerlidir .
Ön Bilgi
Bir sınırlanmıştır Riemann yüzeyi X’in bir üzerindeki bir bölge olarak tanımlanabilir kompakt Riemann yüzeyi sınır ∂ X, sonlu sayıda ayrık Ürdün eğrileri oluşur. Çoğu uygulamada, bu eğriler parçalara ayrılmış analitiktir, ancak bu eğriler üzerinde teorinin çalışması için gerekli olan asgari düzeyde bir düzenlilik koşulu vardır; Ahl düzenliliği denir . Bir konformal Riemannsal metrik bir kısmi uzunluğu ile tanımlanır ds konformal yerel koordinat olarak ifade edilir z olarak ds = ρ ( z ) | dz |, nerede ρİzole sıfırlarla düzgün ve pozitif bir fonksiyondur. Sıfırlar yoksa, metriğe düz denir. Uzunluk elemanı, doğrultulabilir eğrilerin uzunluklarını ve bölgelerin alanlarını formüllerle tanımlar.
Daha sonra iki nokta arasındaki mesafe, bu noktaları birleştiren eğrilerin uzunluklarının minimumu olarak tanımlanır.
Ayar ve gösterim
Let X ve Y, iki kenarlı Riemann yüzeyleri olabilir ve varsayalım Y, (sınır dahil olmak üzere) bir düz donatılmıştır konformal metrik σ ( z ) dz . Let f bir holomorfik haritası olması X için Y . Sonra , X ile tanımlanmış olan geri çekme metriği vardır.
Zaman X, bu metrik ile donatılmıştır , f bir hale yerel Isometry bir eğrinin uzunluğu, görüntü uzunluğuna eşit olan,. X ve Y’deki tüm uzunluklar ve alanlar bu iki ölçüme göre ölçülür.
Eğer f sınırını gönderir X sınırına Y , daha sonra f a, dallanmış kaplama . Özellikle,
- a) Her bir nokta, aynı (sonlu) sayıda ön-resme sahiptir ve çokluğu sayar. Bu sayı kaplamanın derecesidir.
- b) Riemann-Hurwitz, formül tutar, özellikle, Euler karakteristiği ve XEuler karakteristiği en olduğu , Ykatı derece.
Şimdi, X sınırının bir kısmının Y’nin içine eşlendiğini varsayalım . Bu bölüme nispi sınır denir . L , göreceli sınırın uzunluğu olsun .
İlk ana teorem
Ortalama örtü numarası formül ile tanımlanır.
Bu sayı bir kaplama derecesinin genellemesidir. Benzer şekilde, her bir normal eğri için y ve içinde her bölge için D içinde Y ortalama kaplama numaraları tanımlanmıştır:
Birinci Ana Teorem, her düzenli bölge ve her düzenli eğri için
burada L göreli sınır uzunluğu ve k sadece bağlı olabilir sabittir Y , σ , D ve y , fakat bağımsız f ve X . Tüm L = 0, bu eşitsizlikler kaplamalar özelliği a zayıf bir analog) haline gelir.
İkinci ana teorem
Ρ , Euler karakteristiğinin negatif olmasına izin verin (böylece, m delikli küre için ρ = m – 2 ). Sonra
Bu sadece ρ ( Y )> 0 olduğunda, örneğin Y , üç (veya daha fazla) delikli bir küre olduğunda anlamlıdır . Bu durumda sonuç, kaplamaların b) özelliğinin genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.
Uygulamalar
Şimdi Z’nin açık bir Riemann yüzeyi, örneğin karmaşık düzlem veya birim disk olduğunu ve Z’nin uygun bir metrik ds ile donatılmasını sağlayın . O (ki , Z , ds ) olan düzenli tükenebilir orada sınırlanmıştır yüzeyler artan bir sekans ise D j içerdiği Z kapaklar içinde kimin birliği ile Z , ve bu tür
Ahlfors, rastgele uyumlu metrik ile karmaşık düzlemin düzenli olarak tükenebilir olduğunu kanıtladı . Bu gerçek, iki ana teoremle birlikte Picard teoremini ve Nevanlinna teorisinin İkinci ana teoremini ifade eder . Picard teoreminin birçok önemli genellemesi Ahlfors teorisinden elde edilebilir.
Özellikle çarpıcı sonuçlardan biri (daha önce André Bloch tarafından varsayılmıştı ) Beş Ada teoremi .
Beş ada teoremi
Let D 1 , …, D 5 ayrık kapanışları ile Riemann küresinin beş Ürdün bölgeler olmak. Sonra , sadece bu bölgelere bağlı olarak ve aşağıdaki özelliğe sahip bir c sabiti vardır :
Let f birim dairenin içinde bir meromorfik fonksiyon şekilde küresel türevi tatmin
Daha sonra basit bağlantılı bölge vardır G şekilde birim diski üzerindeki kapatma ile yer f harita G bölgeleri birinin üzerine D j homeomorphically.
Bu dört bölgeyle uyumlu değil. Örneğin, K > 0’ın keyfi olarak büyük olduğu f ( z ) = ℘ ( Kz ) ve ℘ , diferansiyel denklemi sağlayan Weierstrass eliptik işlevidir.
Dört nokta e 1 , e 2 , e 3 , ∞’un tüm ön görüntüleri birden fazladır, bu nedenle bu noktaların etrafında ayrı ayrı kapanan dört disk alırsak, bu disklerin hiçbirinde homeomorfik olarak haritalanan bir bölge olmaz.
