Katkı Maddesi Tersi

Matematik olarak, katkı maddesi ters a sayısı $a$ zaman, sayı olduğu ilave için $bir$ verimler sıfır . Bu sayı aynı zamanda zıt (sayı), ^[1] işaret değişikliği ve olumsuzlama olarak da bilinir . ^[2] bir için gerçek sayı , onun ters işareti bir zıt: pozitif bir sayı negatif ve zıt negatif bir sayı pozitiftir. Sıfır , kendisinin katkı maddesi tersidir.

Arasında katkı maddesi ters $bir$ ile gösterilir tekli eksi : – $bir$ (tartışma aşağıda ). Örneğin, 7 katkı maddesi tersi −7 ‘dir, çünkü 7 + (−7) = 0 ve −0.3 katkı maddesi tersi 0,3’tür, çünkü −0.3 + 0.3 = 0’dır.

Katkı tersi, sayılar dışındaki matematiksel nesnelere geniş bir genelleme sağlayan , toplama işleminin ikili işlemi altındaki ters elemanı olarak tanımlanır ( aşağıdaki tartışmaya bakın ) . Herhangi bir ters işleme gelince, çift katkı tersinin net bir etkisi yoktur : $- (-$ $x$ $) =$ $x$ .

8 √ 1 sekiz değerinden ikisi olan bu karmaşık sayılar karşılıklı olarak zıt

Yaygın örnekler

Genel olarak, herhangi bir sayıda ve için, halka , ilave ters kullanılarak hesaplanabilir çarpma ile -1 ; yani, $- n = -1 \times n$ . Sayı halkalarının örnekleri tamsayılar , rasyonel sayılar , gerçek sayılar ve karmaşık sayılardır.

Çıkarma ilişkisi

Katkı tersi, zıtın bir eki olarak görülebilen çıkarma ile yakından ilişkilidir :

a - b = a + (- b)

.

Tersine, katkı tersinin sıfırdan çıkarılması olarak düşünülebilir:

- a = 0 - a

.

Bu nedenle, tekli eksi işareti gösterimi, “0” sembolü çıkarılmış bir çıkarma için bir kısayol olarak görülebilir, ancak doğru bir tipografide tekli “-” den sonra boşluk olmamalıdır .

Diğer mülkler

Yukarıda listelenen kimliklere ek olarak, olumsuzlama aşağıdaki cebirsel özelliklere sahiptir:

$- (- a) = a$ , bu bir Involution işlemidir
$- (a + b) = (- a) + (- b)$
$a - (- b) = a + b$
$(- a) \times b = a \times (- b) = - (a \times b)$
$(- a) \times (- b) = a \times b$

özellikle, $(- a) 2 = a 2$

Biçimsel tanım

Notasyonu + genellikle ayrılmıştır değişmeli ikili operasyonlar; yani, $x + y = y + x$ , tüm $x$ , $y için$ . Böyle bir işlem $o$ bir kimlik elemanını $o$ kabul ederse ( $x + o (= o + x) = x$ tüm $x için$ ), bu eleman benzersizdir ( $o ' = o ' + o = o$ ). Belirli bir $x$ için $x$ varsa $'$ öyle ki $x + x ' (= x ' + x) = o$ , o zaman $x '$ , $x’in$ tersi olarak adlandırılır .

+ Tüm $x$ , $y$ , $z$ için ilişkisel ( $(x + y) + z = x + (y + z)$ ise , bir katkı tersi benzersizdir. Bunu görmek için, let $x ‘$ ve $x “,$ her birinin toplamaya göre ters olması $x$ ; sonra

x ' = x ' + o = x ' + (x + x ″) = (x ' + x) + x ″ = o + x ″ = x ″

.

Örneğin, gerçek sayıların eklenmesi ilişkisel olduğundan, her bir gerçek sayının benzersiz bir katkı maddesi tersi vardır.

Diğer örnekler

Aşağıdaki örneklerin hepsi aslında abelya gruplarıdır :

karmaşık sayılar : $- (a + bi) = (- a) + (- b) i$ . Üzerinde kompleks düzlemde , bu işlem, döner bir karmaşık sayı 180 derece civarında kökenli (Hali yukarıda ).
Real-ve karmaşık-değerli fonksiyon eklenmesi: burada, bir fonksiyon aditif ters $f$ fonksiyonudur – $f$ ile tanımlanan $(- f) (x) = - f (x)$ , herkese $x$ , bu şekilde $ön - (+ f) = o$ , sıfır fonksiyonu ( $o (x) =$ tüm $x$ için $0$ ).
daha genel olarak, öncekiler bir abelya grubundaki değerlere sahip tüm işlevler için geçerlidir (‘sıfır’, yani bu grubun kimlik elemanı anlamına gelir):
diziler , matrisler ve ağlar da özel fonksiyon türleridir.
Bir de vektör alan katkı maddesi ters $- v$ genellikle karşıt vektör olarak adlandırılır $v$ ; orijinal ve zıt yön ile aynı büyüklüktedir . Eklemeli ters çevirme sca1 ile skaler çarpmaya karşılık gelir . İçin Öklid uzayında , öyle nokta yansıma kökenli. Tam tersi yönde vektörler (negatif sayılarla çarpılır) bazen karşıt paralel olarak adlandırılır .
- vektör uzayı değerli fonksiyonlar (zorunlu olarak doğrusal değildir),
Olarak modüler aritmetik , modüler katkı ters bir $x$ de tanımlanır: bu sayı olduğu $bir$ şekilde, $bir + x \equiv 0 (mod N)$ . Bu katkı maddesi tersi daima vardır. Örneğin, 3 modulo 11’in tersi 8’dir, çünkü $3 + x \equiv 0’a (mod 11) bir$ çözümdür .

Örnek olmayanlar

Doğal sayılar , kardinal sayılar ve sıra sayıları , kendi kümeleri içinde ilave tersine çevrilmezler . Böylece, örneğin, doğal sayılar söyleyebiliriz do toplamaya göre ters var, ama bu toplamaya göre ters kendilerini doğal sayılar değildir çünkü, doğal sayılar kümesi değildir kapalı toplamaya göre ters alma altında.

Kaynakça:

Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Temel Cebir (5. baskı), Cengage Learning, s. 40, ISBN 9781133710790.
“Olumsuzluk” terimi, negatif bir sayının tersi pozitif olduğu için yanıltıcı olabilecek negatif sayılara bir referans içerir.

Kaynaklar

Margherita Barile. “Katkı Tersi” . MathWorld .

[1] Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Temel Cebir (5. baskı), Cengage Learning, s. 40, ISBN 9781133710790.

[2] “Olumsuzluk” terimi, negatif bir sayının tersi pozitif olduğu için yanıltıcı olabilecek negatif sayılara bir referans içerir.