Aritmetik İlerleme

Aritmetik ilerleme formüllerinin türetildiğinin görsel kanıtı – soluk bloklar aritmetik ilerlemenin döndürülmüş bir kopyasıdır

Aritmetik ilerlemesi (AP) veya aritmetik dizi a, dizi bir sayı ardışık açısından arasındaki fark sabit olacak şekilde yerleştirilmiştir. Buradaki fark ikinci eksi birinci anlamına gelir. Örneğin, dizi 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . 2’nin ortak farkı olan aritmetik bir ilerlemedir .

Aritmetik bir ilerlemenin başlangıç terimi ve birbirini takip eden üyelerin ortak farkı d , sonra dizinin n. terimi ( $a_ {n}$ ) tarafından verilir:

,

ve genel olarak

.

Aritmetik bir ilerlemenin sonlu bir kısmına sonlu aritmetik ilerleme ve bazen sadece aritmetik bir ilerleme denir. Toplamı sonlu aritmetik bir adlandırılır aritmetik serisi .

Aritmetik ilerlemenin davranışı, ortak farka bağlıdır d . Ortak fark ise:

pozitif, o zaman üyeler (terimler) pozitif sonsuza doğru büyüyecek ;
negatif, o zaman üyeler (terimler) negatif sonsuza doğru büyüyecektir.

Toplam

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Toplam 2 + 5 + 8 + 11 + 14’ün hesaplanması. Dizi tersine çevrildiğinde ve terime göre terim içine eklendiğinde, ortaya çıkan dizi, ilk ve son sayıların toplamına eşit olan tek bir tekrarlanan değere sahiptir (2 + 14 = 16). Böylece 16 × 5 = 80 toplamın iki katıdır.

Toplamı sonlu aritmetik ilerleme üyelerinin bir denir aritmetik dizi . Örneğin, toplamı göz önünde bulundurun:

2+5+8+11+14

Bu miktar, sayı alarak hızlı bir şekilde bulunabilir n terimleri (burada 2 + 14 = 16) ilerlemesi ilk ve son sayının toplamı ile çarpılması ve 2 ile bölünmesi, (burada 5) ilave edilir:

Yukarıdaki durumda, bu denklemi verir:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \ frac {5 (2 + 14)} {2} = \ frac {5 \ times 16} {2} = 40.

Bu formül gerçek sayılar için geçerlidir $a_ {1}$ ve $a_ {n}$ . Örneğin:

Türev

1 + 2 + … + n ilk tamsayılarının toplamını veren formül için animasyonlu kanıt.

Yukarıdaki formülü türetmek için, aritmetik serileri iki farklı şekilde ifade ederek başlayın:

İki denklemin her iki tarafını da ekleyerek, d ile ilgili tüm terimler iptal olur:

Her iki tarafı da 2’ye bölmek denklemin ortak bir biçimini üretir:

Alternatif bir form, ikamenin tekrar eklenmesinden kaynaklanır:

$a_n = a_1 + (n-1) d$ :

$S_n = \ frac {n} {2} [2a_1 + (n-1) d].$

Ayrıca, serinin ortalama değeri şu şekilde hesaplanabilir: $S_n / n$ :

$\ overline {n} = \ frac {a_1 + a_n} {2}.$

Formül, ayrı bir muntazam dağılımın ortalamasına çok benzer .

MS 499’da Hint matematiği ve Hint astronomisinin klasik çağından önemli bir matematikçi – gökbilimci olan Aryabhata, Aryabhatiya’da bu yöntemi verdi.

Bir anlatıya göre, genç Carl Friedrich Gauss , ilkokulda bir ceza için 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 toplamını hesaplamak için bu yöntemi yeniden icat etti.

Ürün

Ürün , bir başlangıç elemanı ile, sonlu bir aritmetik üyelerinin bir ₁ , ortak farklılıklar d ve n toplam olarak elemanlar kapalı bir ifadede belirlenir

nerede $\Gama$ Gama işlevini belirtir . (Formül aşağıdaki durumlarda geçerli değildir $a_1 / gün$ negatif bir tam sayı veya sıfırdır.)

Bu, ilerlemenin çarpımının $1 \ times 2 \ times \ cdots \ times n$ faktöriyel tarafından verilir $n!$ ve ürünün

{\ displaystyle m \ times (m + 1) \ times (m + 2) \ times \ cdots \ times (n-2) \ times (n-1) \ times n}

için pozitif tamsayılar $m$ ve $n$ tarafından verildi

$\ Frac {n!} {(M-1)!}.$

Örnek 3, 8, 13, 18, 23, 28 alınması, …, verilen aritmetik açısından ürün bir _n = 3 + ( n -1) x 5 kadar 50. terimdir

$P_ {50} = 5 ^ {50} \ cdot \ frac {\ Gamma \ left (3/5 + 50 \ right)} {\ Gamma \ left (3/5 \ right)} \ yaklaşık 3.78438 \ times 10 ^ { 98}.$

Standart sapma

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin standart sapması şu şekilde hesaplanabilir:

\ sigma = | d | \ sqrt {\ frac {(n-1) (n + 1)} {12}}

nerede $n$ ilerlemedeki terimlerin sayısıdır ve $d$ terimler arasındaki ortak farktır. Formül, ayrı bir muntazam dağılımın standart sapmasına çok benzer .

Kavşaklar

Kesişme herhangi iki çift sonsuz aritmetik ilerlemeler ya boş veya kullanılarak bulunabilir bir aritmetik ilerlemesi, bir Çin kalan teoremi . İki kat sonsuz aritmetik ilerleme ailesindeki her ilerleme çifti boş olmayan bir kavşağa sahipse, hepsi için ortak bir sayı vardır; yani sonsuz aritmetik ilerleme Helly ailesini oluşturur . ^[1] Bununla birlikte, sonsuz sayıda sonsuz aritmetik ilerlemeler kesişme kendisi sonsuz ilerlemesi olmak yerine tek bir numara olabilir.

Formüllerin özeti

Eğer

a_ {1}

aritmetik bir ilerlemenin ilk terimidir.

a_ {n}

aritmetik ilerlemenin nördüncü terimidir.

d

aritmetik ilerleme terimleri arasındaki farktır.

n

aritmetik ilerleme içindeki terim sayısıdır.

S_ {n}

aritmetik ilerleme içindeki n terimin toplamıdır.

\ overline {n}

aritmetik serinin ortalama değeridir.

sonra

1.

\ a_n = a_1 + (n - 1) d,

2.

\ a_n = a_m + (n - m) d.

3.

S_n = \ frac {n} {2} [2a_1 + (n-1) d].

4.

S_n = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n).

5.

S_n / n

6.

\ overline {n} = \ frac {a_1 + a_n} {2}.

7.

{\ displaystyle d = {\ frac {a_ {m} -a_ {n}} {mn}}; m \ neq n}

.

Kaynakça:

Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Kombinatorik El Kitabı, Vol. 1, 2 , Amsterdam: Elsevier, s.381–432, MR 1373663. Bkz. Özellikle Bölüm 2.5, “Helly Property”, s. 393-394 .

Sigler, Laurence E. (çev.) (2002). Fibonacci’nin Liber Abacı . Springer-Verlag. sayfa 259-260. ISBN 0-387-95419-8.

[1] Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, Graham, RL; Grötschel, M .; Lovász, L. (eds.), Kombinatorik El Kitabı, Vol. 1, 2 , Amsterdam: Elsevier, s.381–432, MR 1373663. Bkz. Özellikle Bölüm 2.5, “Helly Property”, s. 393-394 .