Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama; sayıların toplamının, koleksiyondaki sayıların sayısına bölümüdür. ^[1] Koleksiyon genellikle bir deneyin veya gözlemsel çalışmanın bir dizi sonucudur veya sıklıkla bir anket olarak karşımıza çıkar. Matematik ve istatistikteki bazı bağlamlarda “aritmetik ortalama” terimi tercih edilir, çünkü geometrik ortalama ve harmonik ortalama gibi diğer araçlardan ayırt edilmesine yardımcı olur.

Matematik ve istatistiğe ek olarak, aritmetik ortalama ekonomi, antropoloji ve tarih gibi birçok alanda sıklıkla kullanılır ve neredeyse her akademik alanda bir dereceye kadar kullanılır. Örneğin, kişi başına gelir, bir ulusun nüfusunun aritmetik ortalama geliridir.

Aritmetik ortalama genellikle merkezi eğilimleri rapor etmek için kullanılırken, sağlam bir istatistik değildir, yani aykırı değerlerden (değerlerin çoğundan çok daha büyük veya daha küçük olan değerler) büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir . Özellikle, için çarpık dağılımlar gibi, gelir dağılımı kendisi için bir kaç insanların gelirleri çoğu insan en çok daha büyük düzeyde, aritmetik ortalama değil çakıştığı “orta”, ve sağlam istatistiklerin kişinin düşüncesiyle gibi olabilir ortanca olabilir merkezi eğilimin daha iyi bir tanımı.

TANIM

Ortalama aritmetik, $x$ bar, $n$ değerler , $x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}$ . ^[2]

Aritmetik ortalama, bir veri kümesinde merkezi eğilimin en yaygın kullanılan ve kolayca anlaşılan ölçümüdür. İstatistikte ortalama terimi, merkezi eğilim ölçülerinden herhangi birini ifade eder. Bir dizi gözlenen verinin aritmetik ortalaması, her bir gözlemin sayısal değerlerinin toplamının, toplam gözlem sayısına bölünmesiyle eşit olarak tanımlanır. Sembolik olarak, değerlerden oluşan bir veri kümemiz varsa $a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}$ , sonra aritmetik ortalama $bir$ formül ile tanımlanır:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = {\ frac {a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n}} {n}}}$

Örneğin, bir firmanın 10 çalışanının aylık maaşını göz önünde bulundurun: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Aritmetik ortalama

{\ frac {2500 + 2700 + 2400 + 2300 + 2550 + 2650 + 2750 + 2450 + 2600 + 2400} {10}} = 2530.

Veri kümesi istatistiksel bir popülasyonsa (yani, sadece bunların bir alt kümesinden değil, olası her gözlemden oluşur), bu popülasyonun ortalaması popülasyon ortalaması olarak adlandırılır . Veri kümesi istatistiksel bir örnekse (popülasyonun bir alt kümesi), bu hesaplamadan kaynaklanan istatistiğe örnek ortalama diyoruz .

MOTİVE EDİCİ ÖZELLİKLER

Aritmetik ortalama, özellikle merkezi eğilimin bir ölçüsü olarak onu yararlı kılan çeşitli özelliklere sahiptir. Bunlar:

Sayılar $x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}$ demek ${\ bar {x}}$ , sonra $(x_ {1} - {\ bar {x}}) + \ dotsb + (x_ {n} - {\ bar {x}}) = 0$ an beri $x_ {i} - {\ bar {x}}$ verilen bir sayı ile ortalamanın arasındaki mesafedir, bu özelliği yorumlamanın bir yolu, ortalamanın solundaki sayıların ortalamanın sağındaki sayılarla dengelendiğini söylemektir. Ortalama, artıkların (tahminden sapmalar) sıfıra toplandığı tek sayıdır .
Bilinen sayılar kümesi için tek bir sayının “tipik” değer olarak kullanılması gerekiyorsa $x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}$ , daha sonra sayıların aritmetik ortalaması bunu en iyi şekilde yapar, tipik değerden kare sapmaların toplamını en aza indirgemek için: $(x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}$ . (Sonuç, örnek ortalamanın aynı zamanda en düşük kök ortalama kare hatasına sahip olma anlamında en iyi tek belirleyicidir .) ^[2] Bir sayı popülasyonunun aritmetik ortalaması isteniyorsa, bunun tarafsız olduğu tahmini popülasyondan alınan bir örneğin aritmetik ortalaması.

MEDYAN İLE KONTRAST

Aritmetik ortalama medyan ile kontrastlanabilir. Medyan, değerlerin yarısından fazlasının medyandan daha büyük ve yarısından fazla olmayacağı şekilde tanımlanır. Verilerdeki elemanlar aritmetik olarak artarsa , bir sıraya yerleştirildiğinde, medyan ve aritmetik ortalama eşittir. Örneğin, veri örneğini düşünün ${1,2,3,4}$ . Ortalama $2.5$ , medyan gibi. Ancak, aritmetik olarak artacak şekilde düzenlenemeyen bir örneği ele aldığımızda, örneğin ${1,2,4,8,16}$ , ortanca ve aritmetik ortalama önemli ölçüde farklılık gösterebilir. Bu durumda, aritmetik ortalama 6.2 ve ortanca 4’tür. Genel olarak, ortalama değer numunedeki çoğu değerden önemli ölçüde değişebilir ve çoğundan daha büyük veya daha küçük olabilir.

Bu fenomenin birçok alanda uygulamaları vardır. Örneğin, 1980’lerden beri, ABD’deki ortalama gelir, aritmetik gelir ortalamasından daha yavaş artmıştır. ^[3]

GENELLEMELER

Ağırlıklı ortalama

Ağırlıklı ortalama veya ağırlıklı ortalama, bazı veri noktalarının hesaplamalardan daha fazla ağırlık verildiği için diğerlerinden daha ağır sayıldığı bir ortalamadır. Örneğin, aritmetik ortalama $3$ ve $5$ dır-dir ${\ frac {(3 + 5)} {2}} = 4$ , veya eşdeğer olarak $\ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot 3 \ right) + \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot 5 \ right) = 4$ .

Buna karşılık, ilk sayının, örneğin ikincinin iki katı kadar aldığı ağırlıklı bir ortalama (belki de bu sayıların örneklendiği genel popülasyonda iki kat daha sık göründüğü varsayıldığı için)

$\ left ({\ frac {2} {3}} \ cdot 3 \ right) + \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot 5 \ right) = {\ frac {11} {3}}$ .

Burada mutlaka bir değere karşılık gelen ağırlıklar, $(2/3)$ ve $(1/3)$ , birincisi ikincisidir. Aritmetik ortalama (bazen “ağırlıksız ortalama” veya “eşit ağırlıklı ortalama” olarak adlandırılır), tüm ağırlıkların birbirine eşit olduğu ağırlıklı bir ortalamanın özel bir durumu olarak yorumlanabilir ${\ frac {1} {2}}$ yukarıdaki örnekte ve eşittir ${\ frac {1} {n}}$ ile bir durumda $n$ sayıların ortalaması alınır.

Sürekli olasılık dağılımları

İki log-normal dağılımın eşit medyan , ancak farklı çarpıklık ile karşılaştırılması , farklı araç ve modlarla sonuçlanır .

Sayısal bir özellik ve ondan herhangi bir veri örneği, örneğin sadece tamsayılar yerine sürekli bir aralıktan herhangi bir değer alabilirse, bir sayının bir dizi olası değer aralığına düşme olasılığı, bir sürekli olasılık dağılımı bu aralık boyunca, sonsuz sayıda bir ile belirli bir değere alarak sayıda numune için saf olasılık sıfır olduğunda bile. Her bir aralıktaki değişkenin kesin değeri için sonsuz sayıda olasılık bulunan bu bağlamda ağırlıklı bir ortalamanın analogu , olasılık dağılımının ortalaması olarak adlandırılır . En yaygın karşılaşılan olasılık dağılımına normal dağılım denir; sadece ortalama değil, aynı zamanda yukarıda belirtilen medyan ve mod (üç M ^[4] ) dahil olmak üzere merkezi eğiliminin tüm ölçümlerinin birbirine eşit olduğu özelliğine sahiptir. Bu eşitlik, burada lognormal dağılım için gösterildiği gibi, diğer olasılık dağılımları için geçerli değildir .

AÇILAR

Fazlar veya açılar gibi döngüsel veriler kullanılırken özel dikkat gösterilmelidir . 1 ° ve 359 ° ‘lik aritmetik ortalamanın alınması 180 °’ nin bir sonucunu verir. Bu iki nedenden dolayı yanlıştır:

İlk olarak, açı ölçümleri sadece 360 ° (veya radyan cinsinden ölçüm yapılıyorsa 2π) ilave sabitine kadar tanımlanır. Bu nedenle, her biri farklı bir ortalama veren bu 1 ° ve −1 ° veya 361 ° ve 719 ° olarak kolayca çağrılabilir.
İkincisi, bu durumda, 0 ° (eşdeğer olarak, 360 °) geometrik olarak daha iyi bir ortalama değerdir: bu konuda daha düşük dağılım vardır (noktalar hem ondan 1 °, hem de varsayılan ortalama 180 ° ‘den 179 °’ dir).

Genel uygulamada, böyle bir gözetim, yapay olarak sayısal aralığın ortasına doğru hareket eden ortalama değere yol açacaktır. Bu soruna bir çözüm, optimizasyon formülasyonunu kullanmak ( yani ortalamayı merkezi nokta olarak tanımlamak: birinin en düşük dağılıma sahip olduğu nokta) ve farkı modüler bir mesafe (yani daire üzerindeki mesafe) olarak yeniden tanımlamaktır. : yani 1 ° ile 359 ° arasındaki modüler mesafe 2 °, 358 ° değil).

SEMBOLLER VE KODLAMA

Aritmetik ortalama genellikle bir çubukla gösterilir, örneğin $x$ bar . ^[2]

Bazı yazılımlar ( metin işlemcileri, web tarayıcıları ) x̄ sembolünü düzgün görüntülemeyebilir. Örneğin, X simgesi HTML (veya ¯ 772. &) taban x harfi artı yukarıda hattı için bir kod – iki kodda bir kombinasyonu aslında. ^[5]

Gibi bazı metinlerde, içinde pdf’lerden , X sembolü ile değiştirilebilir cent (¢) sembolü ( Unicode gibi metin işlemci kopyalanan & # 162) , Microsoft Word .

Kaynakça:

Jacobs, Harold R. (1994). Matematik: Bir İnsan Çalışması (Üçüncü Baskı). WH Freeman . s. 547. ISBN 0-7167-2426-X.
Medhi, Jyotiprasad (1992). İstatistiksel Yöntemler: Bir Giriş Metni . New Age Uluslararası. sayfa 53-58. ISBN 9788122404197.
Krugman, Paul (4 Haziran 2014) [Güz 1992]. “Zenginler, Doğrular ve Gerçekler: Gelir Dağılımı Tartışmasının Yapılandırılması” . Amerikan Beklentisi .
Thinkmap Visual Thesaurus (30 Haziran 2010). “İstatistiklerin Üç M’si: Mod, Medyan, Ortalama 30 Haziran 2010” . www.visualthesaurus.com . Erişim tarihi: 3 Aralık 2018 .
“Stat Sembolleri için Unicode Hakkında Notlar” . www.personal.psu.edu . Erişim tarihi: 14 Ekim 2018 .

[1] Jacobs, Harold R. (1994). Matematik: Bir İnsan Çalışması (Üçüncü Baskı). WH Freeman . s. 547. ISBN 0-7167-2426-X.

[JM-2] Medhi, Jyotiprasad (1992). İstatistiksel Yöntemler: Bir Giriş Metni . New Age Uluslararası. sayfa 53-58. ISBN 9788122404197.

[3] Krugman, Paul (4 Haziran 2014) [Güz 1992]. “Zenginler, Doğrular ve Gerçekler: Gelir Dağılımı Tartışmasının Yapılandırılması” . Amerikan Beklentisi .

[ThreeMs-4] Thinkmap Visual Thesaurus (30 Haziran 2010). “İstatistiklerin Üç M’si: Mod, Medyan, Ortalama 30 Haziran 2010” . www.visualthesaurus.com . Erişim tarihi: 3 Aralık 2018 .

[5] “Stat Sembolleri için Unicode Hakkında Notlar” . www.personal.psu.edu . Erişim tarihi: 14 Ekim 2018 .