Kuvvet Serileri Genişletmesi

Diferansiyel denklemleri belirsiz katsayıları olan kuvvet serilerine uygulayarak, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor serisinin katsayıları için nüks ilişkileri ortaya çıkarılabilir.

Bu nüks ilişkilerinin çözülmesi kolaydır ve seri açılımları verir.

Yakınsama bu serinin sonsuzdur. Bu nedenle, sinüs ve kosinüs , (tanım gereği) tüm karmaşık düzlemde tanımlanmış ve  holomorfik olan kompleks değerli fonksiyonlar olan (“sinüs” ve “kosinüs” olarak da adlandırılır) tüm fonksiyonlara genişletilebilir .

Tüm fonksiyonların fraksiyonları olarak tanımlanan diğer trigonometrik fonksiyonlar, kutup denilen bazı izole noktalar hariç, tüm karmaşık düzlemde holomorfik fonksiyonlar olan meromorfik fonksiyonlara genişletilebilir . Burada, kutuplar formun numaralarıdır.  kotanjant ve kosekant için, burada k keyfi bir tam sayıdır.

Tekrarlama ilişkileri diğer trigonometrik fonksiyonların Taylor serisinin katsayıları için de hesaplanabilir . Bu seriler sınırlı bir yakınsama yarıçapına sahiptir . Katsayılarının birleşik bir yorumu vardır: sonlu kümelerin dönüşümlü permütasyonlarını  numaralandırırlar.  

Daha doğrusu,

U _{, n} , n- inci yukarı / sayı aşağı ,

B _{, n} , n- inci Bernoulli sayısı ve

E _n , bir n- inci Euler sayısına ,

biri şu seri genişletmelere sahiptir:  

Sadece çevrilmiş karşılıklı fonksiyonların toplandığı, kısmi fraksiyon genişlemesi olarak, kotanjant fonksiyon ve kutup fonksiyonlarının kutupları eşleşecek şekilde bir seri temsil vardır. 

Bu kimlik Herglotz hilesi ile kanıtlanabilir . Birleştiren – ( n ) ile inci N inci terimi kurşun mutlak yakınsak : serisi