Aritmetik İşlemler 

Temel aritmetik işlemleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme olmakla beraber, yüzdeler, kare kökler, üs alma,  logaritmik fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlar da dahil olmak üzere daha gelişmiş işlemleri kapsar.

Aritmetik ifadeler, amaçlanan işlem sırasına göre değerlendirilmelidir. Bunu belirtmek için (en yaygın olanı, infix gösterimi ile birlikte) açıkça parantez kullanarak ve öncelik kurallarına dayanarak veya bir  önek veya postfix kullanarak belirtmek için birkaç yöntem uygulanır.

Yürütme sırasını tek başına sabitleyen gösterim. Dört aritmetik işlemin tamamının ( sıfıra bölme hariç ) gerçekleştirilebildiği ve bu dört işlemin olağan yasalara (dağılabilirlik dahil) uyduğu herhangi bir nesne kümesine alan denir. 

Toplama (+)  

Toplama aritmetiğin en temel işlemidir. Basit biçiminde toplama, iki sayıyı, ekleri veya terimleri tek bir sayıya,  sayıların  toplamına  birleştirir  ( 2 + 2 = 4 veya 3 + 5 = 8 gibi ).

Sonlu sayıda ekleme, tekrarlanan basit ekleme olarak görülebilir; bu prosedür, sonsuz dizide “sonsuz sayıda sayı ekleme” tanımını belirtmek için kullanılan bir terim olan toplama olarak bilinir . 1 numarasının tekrar tekrar eklenmesi en temel sayma şeklidir;  1 eklemenin sonucuna genellikle orijinal sayının ardılı denir .

Toplama değişmeli ve ilişkiseldir , bu nedenle sonlu birçok terimin eklendiği sıra önemli değildir. Elementi bir için ikili işlem , herhangi bir sayı ile birleştirildiğinde, sonuç olarak aynı sayıda veren bir sayıdır. İlave ek kurallarına göre  0 aynı sayıda, böylece herhangi bir sayıda verimlerine 0 olan katkı kimlik . Ters bir dizi bir göre ikili işlem , herhangi bir sayı ile birleştirildiğinde, bu işlem ile ilgili olarak kimlik verir sayıdır. Dolayısıyla, toplama ile ilgili bir sayının tersi (tersi ters veya ters sayı) orijinal sayıya eklendiğinde ilave kimliği (  0) veren sayıdır; bunun orijinal sayının negatif olduğu hemen belli olur. Örneğin, ilave ters 7 olan -7 beri 7 + (-7) = 0 .

Ekleme, aşağıdaki örnekte olduğu gibi geometrik olarak yorumlanabilir:

2 ve 5 uzunlukta iki çubuğumuz varsa, çubukları birbiri ardına yerleştirirsek, bu şekilde oluşturulan çubuğun uzunluğu 7’dir , çünkü 2 + 5 = 7 .

Çıkarma (-)  

Çıkarma toplama işleminin tersidir. Çıkarma bulur farkı iki sayı arasındaki çıkartılan eksi çıkanın : D = E – S . Daha önce belirlenmiş ek başvurmak, bu fark numarası olduğunu söylemek olduğu, çıkanın ilave edildiği zaman, çıkartılan sonuçlanır: D + S = M .

M ve S’nin pozitif argümanları için :

Minuend subtendend’den daha büyükse, D farkı pozitiftir.

Minuend subtendend’den daha küçükse, D farkı negatiftir.

Her durumda, minuend ve subtrahend eşitse, D = 0 farkı .

Çıkarma ne değişmeli ne de birleştirici . Bu nedenle, modern cebirde, bu ters işlemin inşası genellikle, Ekleme altında çizildiği gibi ters elemanlar kavramını tanıtmak ve çıkarma işlemine, alt çekicinin tersini katkı maddesini minuend’e eklemek gibi göz önüne almaktan atılır. a – b = a + (- b ) . Çıkarmanın ikili işleminin atılmasının derhal fiyatı, (önemsiz) tekli işlemin başlatılması, katkının herhangi bir sayı için tersinin verilmesi ve fark kavramına anında erişimin kaybedilmesidir. Olumsuz argümanlar söz konusu olduğunda potansiyel olarak yanıltıcıdır.

Sayıların herhangi bir temsili için, sonuçların hesaplanmasına yönelik yöntemler vardır; bunların bazıları, bir operasyon için mevcut olan istismar prosedürlerinde, diğerleri için de küçük değişiklikler ile özellikle avantajlıdır. Örneğin, dijital bilgisayarları eklenmesi-devre, mevcut yeniden kullanabilir ve yöntemi ile bir çıkarma uygulanması için ek devre kaydetmek ikinin tümleyicisi son derece kolay bir donanım (uygulamak için katkı Tersi, temsil olumsuzluk).  Takas, sabit bir kelime uzunluğu için sayı aralığının yarıya indirilmesidir.

Doğru ve değişiklik miktarlarını bilerek, doğru bir değişiklik miktarını elde etmek için önceden geniş bir yayılma yöntemi , farkın değerini açıkça üretmeyen sayma yöntemidir . Gerekli miktarı Q ödemek için P miktarının verildiğini ve P’nin Q’dan büyük olduğunu varsayalım . P – Q = C çıkarma işlemini açıkça yapmak ve bu miktardaki C miktarını saymak yerine , para Q’nun halefi ile başlayıp P’ye kadar para biriminin adımlarında devam ederek sayılır. Sayılan miktar çıkarma P – Q sonucuna eşit olmak zorunda olsa da , çıkarma asla gerçekten yapılmadı ve P – Q değeri bu yöntemle sağlanmadı.

Çarpma (× veya · veya *)  

Çarpma bir ölçeklendirme işlemi olarak görülebilir. Eğer sayılar bir çizgide uzanıyor gibi düşünülüyorsa, örneğin x , 1’den büyük bir sayı ile çarpma , 1 sayısının kendisi x’in bulunduğu yere gerilecek şekilde, her şeyi 0’dan uzağa uzatmakla aynıdır . Benzer şekilde, 1’den küçük bir sayı ile çarpma, 0’a doğru sıkma olarak düşünülebilir (Yine, 1’in çoğullamaya gideceği şekilde).

Rasyonellere genişletilebilen, ancak gerçek sayılar için çok erişilebilir olmayan tam sayı sayılarının çarpımına ilişkin bir başka görüş, tekrarlanan toplama olarak düşünmektir. Yani 3 × 4 aynı sonucu veren  4’ün  3 katı veya 3’ün 4 katı  eklenmesine karşılık gelir . Bu paradigmaların matematik eğitimindeki avantajları hakkında farklı görüşler vardır .

Çarpma değişmeli ve ilişkiseldir; ayrıca, toplama ve çıkarma üzerine dağıtıcıdır . Çarpımsal kimlik aynı sayıda bu 1 verimleri ile herhangi bir sayıda çarparak bu yana, 1’dir. Çarpımsal ters dışında herhangi bir sayı için, 0 olan  karşılıklı sayısının kendisine göre herhangi bir sayıda devrik çarpılması çarpımsal kimlik verir, çünkü, bu sayı 1 . 0  , çarpma tersi olmayan tek sayıdır ve herhangi bir sayıyı çarpma sonucu ve 0 tekrar 0’dır. Birincisi, 0’ın çarpma grubuna dahil olmadığını söyler.

Ürün , bir ve b olarak yazılır bir x b ya da bir · b . Ne zaman bir veya b değil hanesiyle sadece yazılı ifadelerdir, aynı zamanda basit dizilimi ile yazılır:  ab . Yalnızca normalde klavyede bulunan karakterleri kullanabilen bilgisayar programlama dillerinde ve yazılım paketlerinde, genellikle bir yıldız işaretiyle yazılır:  a * b .

Çeşitli sayı gösterimleri için çarpma işlemini uygulayan algoritmalar, ekleme için olanlardan çok daha maliyetli ve zahmetlidir. Manuel hesaplama için erişilebilir olanlar, faktörleri tek yer değerlerine ayırmaya ve tekrarlanan toplama uygulamaya ya da tablo veya slayt kurallarını kullanmaya , böylece çarpma işlemini toplama ve geri eşlemeye eşlemeye güvenir . Bu yöntemler eskidir ve mobil cihazlarla değiştirilmiştir. Bilgisayarlar, sistemlerinde desteklenen çeşitli sayı biçimleri için çarpma ve bölme uygulamak için çeşitli gelişmiş ve yüksek düzeyde optimize edilmiş algoritmalar kullanır.

Bölme (÷ veya /)  

Bölme aslında çarpma işleminin tersidir. Bölüm bulur katsayısı iki sayıdan ait temettü bölü bölen. Sıfıra bölünen herhangi bir temettü tanımlanmamıştır. Belirgin pozitif sayılar için, temettü bölenden büyükse, bölüm 1’den büyüktür, aksi takdirde 1’den küçüktür (negatif sayılar için benzer bir kural geçerlidir). Bölen ile çarpılan bölüm her zaman temettü verir.

Bölme ne değişmeli ne de birleştirici. Çıkarma için açıklandığı gibi , modern cebirde, bölümün inşası, orada tanıtıldığı gibi, çarpma ile ilgili ters elemanların inşa edilmesi lehine atılır . Bu bölme kar ve bir çarpma dir, karşılıklı olan faktörler olarak bölen, bir ÷ b = bir x 1/b .

Doğal sayılar içinde ayrıca, farklı ancak ilgili kavram yoktur Öklid bölümü , “bölme” doğal iki sonuçlar veren , N , doğal göre (pay) D (payda), ilk olarak, doğal bir Q (bölüm) ve ikinci bir doğal R (kalan), öyle ki , N = D x Q + R ve R’  < S.