Mutlak geometri

Mutlak geometri , paralel postüla veya alternatiflerinden herhangi biri olmayan Öklid geometrisi için kullanılan bir aksiyom sistemine dayanan bir geometridir . 

Geleneksel olarak, bu, Öklid’in sadece ilk dördüncüsünün kullanılması anlamına gelmekle beraber Öklid geometrisinin temeli olarak yeterli olmadığından Hilbert’in paralel aksiyomsuz aksiyomları gibi diğer sistemler kullanılmaktadır. 

Terimi 1832 senesinde tanımlayan János Bolyai tarafından 1832 yılında nötr geometrisi , paralel önerme ile ilgili olarak nötr olduğu gibi. şekilde ifade edilmiştir.

Özellikler

Mutlak geometrinin oldukça zayıf bir sistem olduğu düşünülebilir, ancak durum böyle değil.  Öklid Elemanlarında , ilk 28 Önermeler ve Önermeler 31, paralel postulatı kullanmaktan kaçınırlar ve bu nedenle mutlak geometride geçerlidir. 

Biri mutlak geometride dış açı teoremini (bir üçgenin dış açısı, uzak açıların her ikisinden daha büyüktür) ve ayrıca açıların ölçülerinin toplamının toplamda olduğunu belirten Saccheri-Legendre teoremini ispatlayabilir. üçgen en çok 180 ° ‘ye sahiptir. 

Önerme 31, verilen çizgide olmayan bir noktadan belirli bir çizgiye paralel bir çizginin yapılmasıdır. 

Kanıt yalnızca Teklif 27 (Alternatif İç Açı Teoremi) kullanımını gerektirdiğinden, mutlak geometride geçerli bir yapıdır. 

Daha ayrıntılı olarak ifade edilmesi gerekirse, “bir hat verilmiş l ve herhangi bir nokta P olmamasına l , orada , en az boyunca bir çizgi P paralel olan l . Bu bilinen bir yapı ile ispat edilebilir: verilen bir hat L ve nokta P olmamasına l , dikey açılan m den p için lDaha sonra, bir dik dik n için m yoluyla P . Alternatif iç açı teoremi ile, l n’ye paraleldir”. 

Alternatif iç açı teoremi, a ve b çizgileri enine t ile kesilirse, bir çift uyumlu alternatif iç açı olacak şekilde, o zaman a ve b paralel olur.

Yukarıdaki yapı ve alternatif iç açı teoremi, Paralel postüle bağlı değildir ve bu nedenle mutlak geometride geçerlidir. 

Mutlak geometride , aynı çizgiye dik iki çizginin kesişemediği (iki çizgiyi paralel çizgiler tanımıyla paralel kılan), Saccheri dörtgeninin zirve açılarının geniş olamayacağını ve küresel geometrinin olmadığını kanıtlamak da kanıtlanabilir. mutlak bir geometri.

Diğer geometrilerle ilişkisi

Mutlak geometri ambarın teoremi hiperbolik geometrisi a,, Öklid dışı geometrisi , yanı sıra Öklid geometrisi . 

Mutlak geometri, eliptik geometri ile tutarsız : bu teoride, hiçbir paralel çizgi yoktur, ancak paralel çizgilerin var olduğu bir mutlak geometri teoremidir. Bununla birlikte, aksiyom sistemini değiştirmek mümkündür, böylece modifiye sistem tarafından tanımlandığı gibi mutlak geometri, paralel çizgileri olmayan küresel ve eliptik geometrileri içerecektir.

Mutlak geometri, sıralı geometrinin bir uzantısıdır ve bu nedenle, sıralı geometrideki tüm teoremler mutlak geometride tutulur. Konuşma doğru değil. Mutlak geometri, Euclid’in üçüncü ve dördüncü aksiyomlarını almayan afin geometrisi ile zıtlaştırılan Euclid’in Aksiyomlarının ilk dördünü (veya eşdeğerlerini) varsayar. (3: ” Herhangi bir merkez ve mesafe yarıçapına sahip bir daireyi tanımlamak için .”, 4: “Tüm dik açıların birbirine eşit olduğu”.) Sıralı geometri, hem mutlak hem de afin geometrisinin ortak bir temelidir.

Özel görelilik geometri dokuz önermeler ve mutlak geometrinin onbir önermeler ile başlayan geliştirilmiştir. Yazarlar Edwin B. Wilson ve Gilbert N. Lewis , iki referans çerçevesine ilişkin dönüşüm olarak hiperbolik rotasyon uyguladıklarında mutlak geometrinin ötesine geçerler .