MAKSİMUN ENTROPİ TERMODİNAMİĞİ 

Maksimum entropi termodinamiği, termodinamik denge ve istatistiki mekanik olarak çıkarım işlemlerini inceler. Daha spesifik olarak MaxEnt, Shannon bilgi teorisi, Bayes olasılığı ve maksimum entropi prensibine dayanan çıkarım tekniklerini uygular. Bu teknikler eksik veya yetersiz verilerden tahmin gerektiren herhangi bir durumla ilgilidir (Görüntü rekonstrüksiyonu, sinyal işleme, spektral analiz ve ters problemler). MaxEnt termodinamiği Edwin T. Jaynes tarafından 1957 Fiziksel İnceleme’de yayınlanan iki makale ile başladı . ^[1] [2

MAKSİMUN SHANNON ENTROPİSİ 

MaxEnt tezinin merkezinde maksimum entropi prensibi yer almaktadır. Kısmen belirtilen bir model ve modelle ilgili bazı belirlenmiş veriler verildiğinde talep eder. Modeli temsil etmek için tercih edilen bir olasılık dağılımını seçer. Verilen veri , olasılık dağılımı , örneğin belirli beklenti değerleri hakkında “test edilebilir bilgi” ^[3] [4] ‘ü belirtmektedir , ancak kendi başlarına bunu benzersiz bir şekilde belirlemek için yeterli değildir. İlke, Shannon bilgi entropisini maksimize eden dağılımı tercih etmesi gerektiğini ,

.

Bu, dengede termodinamik sistemlerin özelliklerini tahmin etmek için istatistiksel topluluklar oluşturmak üzere J. Willard Gibbs tarafından 1878’de tanıtılan Gibbs algoritması olarak bilinir . Denge sistemlerinin termodinamik özelliklerinin istatistiksel mekanik analizinin temel taşıdır ( bölme fonksiyonuna bakınız ).

Böylece denge termodinamik entropisi S _Th , basınç, hacim, sıcaklık vb. Bir durum fonksiyonu ile öngörülen dağılım için bilgi entropisi ile sadece bu değişkenlerin beklenti değerlerinde koşullandırılmış maksimum belirsizlik arasında doğrudan bir bağlantı yapılır :

 

k _B , Boltzmann sabiti , burada hiçbir temel fiziksel önemi vardır, ama tarafından entropi önceki tarihsel tanımıyla tutarlılığı korumak için gereklidir.

Ancak, MaxEnt okulu , MaxEnt yaklaşımının, bunun ötesinde uygulamalar ile genel bir istatistiksel çıkarım tekniği olduğunu savunmaktadır. Bu nedenle, “yörüngeler” Γ “için bir süre boyunca” dağılımını “maksimize ederek öngörmek için de kullanılabilir:

Bu “bilgi entropisi” mutlaka termodinamik entropi ile basit bir bağıntıya sahip değildir . Ancak , zaman içinde geliştikçe dengesiz termodinamik sistemlerin özelliklerini tahmin etmek için kullanılabilir .

Denge dışı senaryolar için, lokal termodinamik dengeyi varsayan bir yaklaşımda, maksimum entropi yaklaşımıyla, Onsager karşılıklı ilişkileri ve Green-Kubo ilişkileri doğrudan düşer. Bu yaklaşım aynı zamanda, entropi üretim dalgalanması teoreminin türetilmesini kolaylaştıran, dengeden uzak senaryoların bazı çok özel durumlarının incelenmesi için teorik bir çerçeve oluşturur . Denge dışı işlemler için, makroskopik tariflerde olduğu gibi, mikroskobik istatistiksel mekanik hesaplar için genel bir entropi tanımı da yoktur.

Teknik not : Diferansiyel entropi makalesinde tartışılan nedenlerden dolayı , Shannon entropisinin basit tanımı, sürekli olasılık dağılım fonksiyonlarına sahip rasgele değişkenler için doğrudan uygulanabilir olmaktan çıkar . Bunun yerine en üst düzeye çıkarmak için uygun miktar “göreli bilgi entropisi” dir.

H _C negatifidir Kullback-Leibler sapma veya ayrım bilgileri, bir m ( X den) p ( x ), m ( x ) önceden olduğu değişmez ölçü değişken (ler) dir. Göreceli entropi lH _c her zaman daha az sıfırdan, ve olduğu gibi (negatifine) sayısı düşünülebilir bit yapıştırılarak kayıp belirsizlik p ( x ) yerine m ( x ). Shannon entropisinden farklı olarak bağıl entropi H _csürekli x için sonlu ve iyi tanımlanmış ve 1’e 1 koordinat dönüşümleri altında değişmez kalma avantajına sahiptir . Eğer m ( x _i ) ‘nin tekdüze olduğu varsayımına varılabilirse, iki ifade ayrı olasılık dağılımları için çakışır – yani istatistiksel termodinamiğin altında yatan eşit a priori olasılık ilkesi .

FELSEFİ YANSIMALAR 

MaxEnt bakış açısına bağlı olanlar, termodinamiğin bazı kavramsal/felsefi soruları üzerinde açık bir pozisyon almaktadır . Bu konum aşağıda gösterilmiştir.

İstatistik mekaniğinde olasılıkların doğası  

Jaynes (1985, ^[5] 2003, ^[6] et passim ) olasılık kavramını tartıştı. MaxEnt bakış açısına göre, istatistiksel mekanikteki olasılıklar iki faktörle birlikte belirlenir: temel alınan durum uzayı için (örneğin Liouvillian faz uzayı ) sırasıyla belirtilen belirli modellerle ; ve sırasıyla sistemin belirli kısmi açıklamalarıyla (MaxEnt olasılık atamasını sınırlamak için kullanılan sistemin makroskopik açıklaması). Olasılıklar nesneldirbu girdiler göz önüne alındığında, belirli bir kişinin öznellik veya keyfi görüşlerinden bağımsız olarak, her rasyonel araştırmacı için aynı şekilde tanımlanmış bir olasılık dağılımının ortaya çıkacağı anlamına gelir. Olasılıklar, belirtilen veriler açısından tanımlandıkları ve her rasyonel araştırmacı için aynı olan kesin ve nesnel çıkarım kuralları ile bu verilerden türetildikleri için epistemiktir. ^[7] Burada, her akılcı araştırmacı için aynı olan nesnel ve kişiliksiz bilimsel bilgiye atıfta bulunan epistemik kelimesi, onu belirli kişilerin öznel veya keyfi inançlarına atıfta bulunan opiyatif ile zıtlaştırmak anlamında kullanılır; bu karşıtlık Platon ve Aristoteles tarafından kullanılmış ve günümüzde güvenilirliğini korumaktadır.

Jaynes de bu bağlamda ‘öznel’ kelimesini kullandı çünkü diğerleri bu bağlamda kullandı. Bir bakıma, bir bilgi durumunun öznel bir yönü olduğunu kabul etti, çünkü zihinsel bir süreç olan düşünceye atıfta bulunuyor. Ancak, maksimum entropi ilkesinin sadece rasyonel ve nesnel olan, düşünürün kişiliğinden bağımsız olduğunu ifade ettiğini vurguladı. Genel olarak, felsefi açıdan bakıldığında, ‘öznel’ ve ‘nesnel’ kelimeleri çelişkili değildir; genellikle bir işletmenin hem öznel hem de nesnel yönleri vardır. Jaynes, bazı yazarların, düşüncenin öznel bir yönü olduğunu söyleyebileceği için, düşüncenin otomatik olarak objektif olmadığı yönündeki eleştirilerini açıkça reddetti. Öznelliği, bilimsel akıl yürütmenin, bilimin epistemolojisinin temeli olarak açıkça reddetti;^[8] Yine de, eleştirmenler onun fikirleri “sübjektif” olduğunu iddia ederek Jaynes saldırmaya devam. Bir yazar bile Jaynes’in yaklaşımını “ultrasubjektivist”, ^[9] olarak etiketleyecek ve “fizikçiler arasında subjektivizm teriminin yarattığı paniğe” değinecek kadar ileri gider. ^[10]

Olasılıklar hem verilerdeki bilgi derecesini hem de bilgi eksikliğini ve analistin sistemin makroskopik tanımında kullanılan modeli ve ayrıca bu verilerin temeldeki gerçekliğin doğası hakkında söylediklerini temsil eder.

Olasılıkların uygunluğu, belirtilen makroskopik modelin kısıtlamalarının, deneysel olarak tekrarlanabilir tüm davranışları yakalamak için sistemin yeterince doğru ve / veya tam bir açıklaması olup olmadığına bağlıdır. Bu garanti edilemez, a priori . Bu nedenle MaxEnt taraftarları aynı zamanda yönteme kestirimci istatistik mekaniği olarak da adlandırırlar . Tahminler başarısız olabilir. Ancak eğer yaparlarsa, bu bilgilendiricidir, çünkü sistemde dikkate alınmayan tekrarlanabilir davranışları yakalamak için gereken yeni kısıtlamaların varlığına işaret eder.

Entropi “gerçek” midir?  

Termodinamik entropi (dengede) model tanımının durum değişkenlerinin bir fonksiyonudur. Bu nedenle, model açıklamasındaki diğer değişkenler kadar “gerçek” tir. Olasılık atamasındaki model kısıtlamaları, tekrarlanabilir deney sonuçlarını tahmin etmek için gereken tüm bilgileri içeren “iyi” bir tanımsa, o zaman klasik termodinamiklerden entropi içeren formülleri kullanarak tahmin edebileceğiniz tüm sonuçları içerir. Ölçüde, MaxEnt S _Th klasik termodinamik entropi olarak “gerçek” olduğu gibi.

Tabii ki, gerçekte sistemin sadece bir gerçek durumu vardır. Entropi bu durumun doğrudan bir fonksiyonu değildir. Gerçek durumun sadece (öznel olarak seçilen) makroskopik model açıklaması ile bir fonksiyonudur.

Ergodik teori alakalı mı?  

Gibbsian topluluğu , bir deneyi aynı sistemde tekrar tekrar değil , farklı sistemlerde tekrar tekrar tekrarlama nosyonunu idealize eder . Bu nedenle, uzun vadeli zaman ortalamaları ve ergodik hipotez , yirminci yüzyılın ilk bölümünde onlara olan yoğun ilgiye rağmen, kesinlikle konuşmak, sistemin bulabileceği devletin olasılık ataması ile ilgili değildir.

Ancak, sistemin ölçümden bir süre önce belirli bir şekilde hazırlandığına dair ek bilgi varsa değişir. Daha sonra, bunun ölçüm sırasında hala geçerli olan daha fazla bilgi sağlayıp sağlamadığını dikkate almak gerekir. Sistemin farklı özelliklerinin ‘hızlı bir şekilde karıştırılması’ sorusu daha sonra ilgi çekmeye başlar. Birleşik sistemin bazı serbestlik dereceleri hakkındaki bilgiler çok hızlı bir şekilde kullanılamaz hale gelebilir; sistemin diğer özellikleri hakkında bilgi, önemli bir süre için geçerli olmaya devam edebilir.

Başka bir şey yoksa, sistemin orta ve uzun dönemli korelasyon özellikleri, kendi başlarına deney yapmak için ilginç konulardır. Onları doğru bir şekilde tahmin etmemek, ilgili makroskopik olarak belirlenebilir fiziğin modelde eksik olabileceğinin iyi bir göstergesidir.

İkinci Yasa  

Göre Liouville teoremi için Hamilton dinamikleri , noktaların bulutunun hiper hacimli faz alanı sistemi geliştikçe sabit kalır. Bu nedenle, eğer orijinal bilgileri koşullandırırsak ve sonra bu mikro devletlerin her birini ileriye doğru takip edersek, bilgi entropisi de sabit kalmalıdır:

 

Bununla birlikte, zaman geçtikçe, sahip olduğumuz ilk bilgiye daha az doğrudan erişilebiliyor. Sistemin makroskopik tanımında kolayca özetlenebilir olmak yerine, giderek ayrı ayrı moleküllerin konumları ve momentumları arasındaki çok ince korelasyonlarla ilgilidir. (Boltzmann’ın H-teoremiyle karşılaştırın .) Eşdeğer olarak, 6N boyutlu faz boşluğunda tüm sistem için olasılık dağılımının, giderek sıkılaşan, başlangıçta sıkıca tanımlanmış olasılıkların hacmi yerine uzun ince parmaklara yayıldığı anlamına gelir.

Klasik termodinamik entropi bir olduğu varsayımı üzerine kurulmuştur devlet fonksiyonu ait makroskopik değişkenleri hepsi göz ardı edilebilir, böylece, -IE, sistem konularında tarihinin hiçbirinin.

Yine de, ilk Shannon entropisi genişletilmiş, bir tutam, gelişmiş dağılım, S _Th ⁽¹⁾ , zaman gözlemlenen makroskopik değişkenlerin beklenti değerlerinin yeniden gerekir t ₂ . Ancak, bu yeni makroskopik tanım için artık maksimum bir entropi dağılımı olmayacaktır. Öte yandan, yeni termodinamik entropi S _Th ⁽²⁾ kesinlikle olacak yapı maksimum entropi dağılımını ölçer. Bu nedenle şunları bekliyoruz:

 

Soyut bir düzeyde, bu sonuç sistem hakkında ilk elimizde bulunan bazı bilgilerin makroskopik düzeyde “artık yararlı” olduğunu ima eder. 6 N -boyutlu olasılık dağılımı seviyesinde, bu sonuç kaba taneciklemeyi temsil etmektedir — çok ince ölçekli detayları düzelterek bilgi kaybı.

Tartışmalı uyarılar  

Bazı uyarılar yukarıdaki hususlarla birlikte dikkate alınmalıdır.

1. MaxEnt okuluna göre tüm istatistiksel mekanik sonuçlar gibi, termodinamik entropideki bu artış sadece bir tahmindir . Özellikle ilk makroskopik açıklamanın, daha sonraki makroskopik durumu tahmin etmekle ilgili tüm bilgileri içerdiğini varsayar. Bu, örneğin ilk açıklama, daha sonra ilgili hale gelecek olan sistemin hazırlanmasının bir yönünü yansıtmazsa, böyle olmayabilir. Bu durumda bir MaxEnt tahmininin “başarısızlığı” bize, sistemin fiziğinde göz ardı edebileceğimiz daha alakalı bir şey olduğunu söyler.

Ayrıca bazen kuantum ölçümünün , özellikle de dekererans yorumunda, daha önce erişilemeyen makroskopik bilginin elde edilmesini içerdiği görüldüğü için, bu argüman başına entropide beklenmedik bir düşüş sağlayabileceği önerilmektedir . (Bununla birlikte, kuantum ölçümünün entropi muhasebesi zordur, çünkü tam bir ayrışma elde etmek için sonsuz bir entropi ile sonsuz bir ortam var olabilir).

2. Şimdiye kadar yapılan tartışma, dalgalanmalar meselesi üzerine açığa çıkmıştır . Aynı zamanda dolaylı süresi en tahmin belirsizlik olduğu kabul etmiştir t ₁ sürenin sonunda değişkenler için t ₂ ölçüm hatası çok daha küçük olacaktır. Ölçümler anlamlı sistemin bilgilerimizi güncellemek yoksa Ama onun durumuna olarak belirsizlik yeni vererek azalır  S _I ⁽²⁾  olduğu  az daha  S _I ⁽¹⁾ . (Kendimize Laplace’ın iblisinin yeteneklerine izin verirsek , bu yeni bilginin sonuçlarının da geriye doğru haritalanabileceğini unutmayın, böylece zamandaki dinamik durum hakkındaki belirsizliğimizt ₁ artık bu da indirgenmiş S _I ⁽¹⁾ için S _I ⁽²⁾  ).

Biliyoruz ki S _Th ⁽²⁾ > S _I ⁽²⁾ ; ancak artık S _Th ⁽¹⁾ = S _I ^{(1) ‘} den daha büyük olduğundan emin olamayız . Bu daha sonra S _Th . Termodinamik entropi “aşağı” ve yukarı doğru gidebilir. Zamana bağlı MaxEnt resminin bir sonucu olarak oluşturulabilecek entropi Dalgalanma Teoremi ile daha sofistike bir analiz yapılır .

3. Az önce belirtildiği gibi, MaxEnt çıkarımının tersi de aynı şekilde iyi gider. Bu nedenle, belirli bir nihai devlet göz önüne alındığında, daha önceki devletler hakkındaki bilgimizi geliştirmek için neyi “geriye doğru atabiliriz” diye sorabiliriz. Ancak İkinci Kanunu argüman yukarıda da ters çalışır: süresi en makroskopik bilgiler verilir t ₂ , biz daha az kullanışlı hale de bunu beklemek gerekir. İki prosedür zaman simetriktir. Ancak şimdi bilgiler daha erken ve daha erken zamanlarda daha az kullanışlı hale gelecektir. ( Loschmidt paradoksu ile karşılaştırın.) MaxEnt çıkarımı, halihazırda düşük entropi durumunun en muhtemel kaynağının, daha erken bir yüksek entropi durumundan kendiliğinden dalgalanma olacağını öngörür. Ancak bu, gerçekleştiğini bildiğimiz şeyle çatışıyor, yani entropinin geçmişte bile istikrarlı bir şekilde arttığı.

MaxEnt taraftarlarının buna cevabı, bir MaxEnt çıkarımının öngörülmesinde böyle sistematik bir başarısızlığın “iyi” bir şey olması olacaktır. ^[11] Bu, sorunun tanımlamasında bazı önemli fiziksel bilgilerin kaçırıldığına dair açık kanıtların olduğu anlamına gelir. Bu dinamik “olan” doğru ise zaman simetrik , biz elle bir koymak gerekir görünür önce olasılık düşük termodinamik entropi ile ilk konfigürasyonlar yüksek termodinamik entropi ile ilk konfigürasyonlarda daha muhtemel olduğu. Bu acil dinamiklerle açıklanamaz. Muhtemelen, evrenin bariz zaman asimetrik evriminin kozmolojik ölçekte bir yansıması olarak ortaya çıkar (zaman okuna bakın ).

ELEŞTİRİLER

Maksimum Entropi termodinamiğinin, kısmen MaxEnt okulundan yayınlanan sonuçların göreceli olarak azlığı nedeniyle, özellikle dengeden uzak yeni test edilebilir tahminler nedeniyle, bazı önemli karşıtlıkları vardır. ^[12]

Teori iç tutarlılık gerekçesiyle de eleştirildi. Örneğin Radu Balescu , MaxEnt Okulu ve Jaynes’in çalışmalarına güçlü bir eleştiri sunuyor. Balescu, Jaynes ve iş arkadaşlarının teorisinin belirsiz sonuçlar üreten geçişsiz bir evrim yasasına dayandığını belirtiyor. Teorinin bazı zorlukları iyileştirilebilse de, teori “sağlam bir temele sahip değildir” ve “yeni bir somut sonuca yol açmamıştır”. ^[13]

Maksimum entropi yaklaşımı doğrudan bilgilendirme entropisine dayanmasına rağmen, fizik için ancak entropinin net bir fiziksel tanımı olduğunda uygulanabilir. Denge olmayan sistemler için, kendi iç termodinamik dengesindeki termodinamik sistemlerden ziyade, bir işlem sırasında dikkate alınan genel fiziksel sistemler olan açık bir benzersiz genel fiziksel entropi tanımı yoktur. ^[14]Maksimum entropi yaklaşımının, entropinin net bir fiziksel tanımı bulunana kadar denge olmayan sistemlere uygulanamayacağı sonucuna varılır. Bu sorun, yerel termodinamik denge tutulmadığında bile, her iki sistemin de iyi tanımlanmış bir sıcaklığa sahip olmamasına rağmen ısının daha sıcaktan daha soğuk bir fiziksel sisteme aktarılabilmesi ile ilgilidir. Klasik entropi, kendi iç termodinamik dengesinde, sıfır ile değişken olmayan, durum değişkenleri tarafından tanımlanan, sıfır değişkenli akı olmayan bir sistem için tanımlanır, böylece akı değişkenleri durum değişkenleri olarak görünmez. Ancak güçlü bir denge olmayan sistem için, bir işlem sırasında durum değişkenleri sıfır olmayan akı değişkenlerini içermelidir. Entropinin klasik fiziksel tanımları bu durumu kapsamaz, özellikle akışkanlar yerel termodinamik dengeyi tahrip edecek kadar büyük olduğunda. Başka bir deyişle, genel olarak denge-olmayan sistemler için entropi için, tanımın en azından klasik statik termodinamik durum değişkenlerinin ötesinde sıfır olmayan akışlar dahil olmak üzere işlemin spesifikasyonunu içermesi gerekecektir. En üst düzeye çıkarılan ‘entropinin’ mevcut problem için uygun şekilde tanımlanması gerekir. Uygunsuz bir ‘entropi’ en üst düzeye çıkarılırsa, yanlış bir sonuç olasıdır. Prensip olarak, maksimum entropi termodinamiği dar bir şekilde ve sadece klasik termodinamik entropiye değinmez. Bu, eldeki problemi formüle etmek için kullanılan verilere bağlı olarak fiziğe uygulanan bilgi entropisi ile ilgilidir. Attard’a göre, güçlü bir denge olmayan termodinamik ile analiz edilen fiziksel problemler için, ikinci entropi dediği de dahil olmak üzere fiziksel olarak farklı birkaç entropi türü dikkate alınmalıdır. Attard şöyle yazıyor: “Verilen başlangıç ​​makrostatında ikinci entropinin mikro-devletler üzerinde maksimize edilmesi en olası hedef makrostati verir.”^[15] Fiziksel olarak tanımlanmış ikinci entropi, bilgi açısından da düşünülebilir.

KAYNAKÇA 

KAYNAKLAR

• Balescu, Radu (1997). İstatistiksel Dinamikler: Denge dışında kalan konular . Londra: Imperial College Yayınları.
• Jaynes, ET (Eylül 1968). “Önceki Olasılıklar” (PDF) . IEEE Sistem Bilimi ve Sibernetik İşlemleri . SSC – 4 (3): 227-241. doi : 10.1109 / TSSC.1968.300117 .
• Guttmann, YM (1999). İstatistik Fizikte Olasılık Kavramı , Cambridge University Press, Cambridge İngiltere, ISBN 978-0-521-62128-1 . 
• Jaynes, ET (1979). “Maksimum entropide nerede duruyoruz?” (PDF) . Levine, R .; Tribus M. (ed.). Maksimum Entropi Biçimciliği . MIT tuşuna basın. ISBN 978-0-262-12080-7.
• Jaynes, ET (1985). “Bazı rasgele gözlemler”. Synthese . 63 : 115–138. doi : 10.1007 / BF00485957 .
• Jaynes, ET (2003). Bretthorst, GL (ed.). Olasılık Teorisi: Bilimin Mantığı . Cambridge: Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-521-59271-0.
• Kleidon, Axel; Lorenz, Ralph D. (2005). Denge dışı termodinamik ve entropi üretimi: yaşam, dünya ve ötesi . Springer. s. 42–. ISBN 978-3-540-22495-2.