KARA DELİK TERMODİNAMİĞİ

Kara delik termodinamiği ^[1] termodinamiğin yasalarını varlığı ile kara deliğin uzlaştırmak isteyen çalışma alanıdır. Kara cisim radyasyonunun istatistiksel mekaniği üzerine yapılan çalışma, kuantum mekaniği teorisinin ortaya çıkmasına neden olurken, kara deliklerin istatistiksel mekaniğini anlama çabasının, kuantum yerçekiminin anlaşılması üzerinde derin bir etkisi olmuştur. (holografik prensip) ^[2]

GENEL BAKIŞ

Termodinamiğin ikinci yasası gerektirir kara delikler var entropi . Kara delikler entropi taşımazsa, kara deliğe kitle atarak ikinci yasayı ihlal etmek mümkün olacaktır. Kara deliğin entropisinin artması, yutulan nesne tarafından taşınan entropinin azalmasını telafi eder.

Kanıtlanmıştır teoremi başlayarak Stephen Hawking , Jacob Bekenstein kara delik entropi kendi alanına orantılı olduğu conjectured ufuk Planck alanına bölünmesi. 1973 yılında Bekenstein önerdi ${\ displaystyle (\ pi \ ln {2}) / 8 \ yaklaşık 0,2722}$ orantısallık sabiti olarak, eğer sabit tam olarak bu değilse, ona çok yakın olması gerektiğini söyleyerek. Ertesi yıl, 1974’te Hawking, kara deliklerin belirli bir sıcaklığa (Hawking sıcaklığı) karşılık gelen termal Hawking radyasyonu ^[3]^[4] yaydığını gösterdi . ^[5]^[6] Hawking, enerji, sıcaklık ve entropi arasındaki termodinamik ilişkiyi kullanarak Bekenstein’ın varsayımını doğrulayabildi ve orantılılık sabitini $1/4$ : ^[7]^[8]

{\ displaystyle S _ {\ text {BH}} = {\ frac {k _ {\ text {B}} A} {4 \ ell _ {\ text {P}} ^ {2}}},}

bir

Hawking’in hesaplamaları kara delik entropisi için daha fazla termodinamik kanıt sağlamasına rağmen, 1995 yılına kadar hiç kimse entropiyi çok sayıda mikro-devletle ilişkilendiren istatistiksel mekaniğe dayalı olarak kara delik entropisinin kontrollü bir hesaplamasını yapamadı . Aslında, sözde ” hayır-saç ” teoremleri ^[10] O kara delikler yalnızca tek mikro durum olabilir önermek ortaya çıktı. Zaman durum 1995 yılında değişti Andrew Strominger ve Cumrun Vefâ hesaplanan ^[11] Bir sağ BEKENSTEIN-Hawking entropi süpersimetrik içinde kara delik sicim teorisi , dayalı yöntemler kullanılarak D-parçacık vedize ikiliği . Hesaplamalarını, diğer aşırı ve yakın aşırı kara deliklerin büyük sınıflarının entropisinin benzer hesaplamaları izledi ve sonuç her zaman Bekenstein – Hawking formülü ile anlaştı. Bununla birlikte, aşırı uçtan en uzak kara delik olarak görülen Schwarzschild kara deliği için , mikro- ve makro-devletler arasındaki ilişki karakterize edilmemiştir. Sicim teorisi çerçevesinde yeterli bir cevap geliştirme çabaları devam etmektedir.

Gelen döngü kuantum yerçekimi (LQG) ^{[nb 1]} mikro-bir geometrik yorumunu ilişkilendirmek mümkündür: bu ufuk kuantum geometrileri bulunmaktadır. LQG, entropinin sonluluğunun ve ufuk alanının orantılılığının geometrik bir açıklamasını sunar. ^[12]^[13] Tam kuantum teorisinin ( spinfoam ) kovaryant formülasyonundan enerji ve alan (1. yasa), Unruh sıcaklığı ve Hawking entropisini veren dağılım arasındaki doğru ilişkiyi elde etmek mümkündür. ^[14] Hesaplama dinamik ufuk kavramını kullanırve aşırı olmayan kara delikler için yapılır. Döngü kuantum yerçekimi açısından Bekenstein – Hawking entropisinin hesaplanması da tartışılmaktadır .

KARA DELİK MEKANİĞİNİN KANUNLARI

Kara delik mekaniğinin dört kanunu, kara deliklerin yerine getirdiğine inanılan fiziksel özelliklerdir. Termodinamik yasalarına benzer yasalar Brandon Carter , Stephen Hawking ve James Bardeen tarafından keşfedildi .

Kanunlar

Kara delik mekaniğinin yasaları geometri birimlerinde ifade edilir .

Sıfırıncı Yasa

Ufuk, sabit bir kara delik için sabit yüzey ağırlığına sahiptir .

Birinci yasa

Sabit kara deliklerin bozulmaları için, enerji değişimi, alan değişimi, açısal momentum ve elektrik yükü ile ilgilidir.

{\ displaystyle dE = {\ frac {\ kappa} {8 \ pi}} \, dA + \ Omega \, dJ + \ Phi \, dQ,}

nerede $E$ olduğu enerji , $\kappa$ bir yüzey ağırlığı , $bir$ ufuk alanı, $\Omega$ bir açısal hız , $J$ olan açısal momentum , $\ Phi$ olan elektrostatik potansiyel ve $S$ olan elektrik yükü .

İkinci yasa

Ufuk alanı, zayıf enerji durumu varsayarak, zamanın azalmayan bir fonksiyonudur:

{\ frac {dA} {dt}} \ geq 0.

Bu “yasa”, Hawking’in kara deliklerin yayıldığı keşfinin yerini aldı, bu da hem karadeliğin kütlesinin hem de ufkunun alanının zamanla azalmasına neden oldu.

Üçüncü yasa

Kaybolan yüzey ağırlığına sahip bir kara delik oluşturmak mümkün değildir. Yani $\ kappa = 0$ elde edilemez.

YASALARIN TARTIŞILMASI

Sıfırıncı Yasa

Sıfırıncı yasa, ısının termal dengede bir vücut boyunca sabit olduğunu belirten termodinamiğin sıfırıncı yasasına benzer . Yüzey ağırlığının sıcaklığa benzer olduğunu gösterir . Normal bir sistem için termal denge için T sabiti aşağıdakine benzer: $\kappa$ sabit bir karadeliğin ufku üzerinde sabit.

Birinci yasa

Sol taraf, $dE$ , enerjideki değişmedir (kütle ile orantılı). İlk terimin hemen açık bir fiziksel yorumu olmamasına rağmen, sağ taraftaki ikinci ve üçüncü terimler, rotasyon ve elektromanyetizma nedeniyle enerjideki değişiklikleri temsil eder . Benzer şekilde, termodinamiğin birinci yasası , sağ tarafında terimi içeren bir enerji tasarrufu ifadesidir. ( ${\ displaystyle TdS}$ .

İkinci kanun

İkinci yasa Hawking’in alan teoreminin ifadesidir. Benzer şekilde, termodinamiğin ikinci yasası, yalıtılmış bir sistemdeki entropi değişikliğinin kendiliğinden oluşan bir süreç için 0’dan büyük veya ona eşit olacağını ve entropi ile karadelik ufuk çizgisi arasındaki bir bağlantı olduğunu belirtir. Bununla birlikte, bu versiyon, entropiyi düştükçe entropisini kaybederek, entropide bir azalma vererek termodinamiğin ikinci yasasını ihlal eder. Bununla birlikte, ikinci yasayı karadelik entropi ve dış entropinin toplamı olarak genelleştirmek, termodinamiğin ikinci yasasının, ufkun ötesindeki evreni içeren bir sistemde ihlal edilmediğini göstermektedir.

Termodinamiğin ikinci yasasını (GSL), termodinamiğin ikinci yasasını geçerli olarak sunmak için gerekliydi. Bunun nedeni, kara deliklerin dışına yakın entropinin kaybolması sonucu termodinamiğin ikinci yasasının yararlı olmamasıdır. GSL yasanın uygulanmasına izin veriyor çünkü artık iç mekan, ortak entropinin ölçülmesi mümkün. GSL’nin geçerliliği, daha büyük, hareket etmeyen bir kara deliğe düşen entropiye sahip bir sisteme bakmak ve kara delik entropi ve entropisinde artış için üst ve alt entropi sınırları oluşturmak gibi bir örnek incelenerek belirlenebilir. sistemin sırasıyla. ^[15] GSL’nin Einstein yerçekimi gibi yerçekimi teorilerini de tutacağını ,Lovelock yerçekimi veya Braneworld yerçekimi, çünkü bunlar için GSL kullanma koşulları karşılanabilir. ^[16]

Bununla birlikte, kara delik oluşumu konusunda, genel termodinamiğin ikinci yasasının geçerli olup olmayacağı ve eğer öyleyse, tüm durumlar için geçerli olduğu kanıtlanacaktır. Bir kara delik oluşumu sabit olmadığından, bunun yerine hareket ettiğinden, GSL’nin tutmasının zor olduğunu kanıtlamak. GSL kanıtlanması kullanarak gerektirecektir genellikle geçerlidir kuantum istatistik mekaniği GSL bir ikisi, çünkü kuantum ve istatistiksel yasa . Bu disiplin mevcut değildir, bu nedenle GSL’nin genel olarak ve tahmin için yararlı olduğu varsayılabilir. Örneğin, GSL’yi, soğuk, dönmeyen bir montaj için $N-$ nükleonları, ${\ displaystyle S_ {BH} -S> 0}$ , nerede ${\ displaystyle S_ {BH}}$ bir karadeliğin entropisi ve $S$ sıradan entropinin toplamıdır. ^[15]^[17]

Üçüncü yasa

Aşırı karadelikler ^[18] kaybolan yüzey ağırlığına sahiptir. Bunu belirtmek $\kappa$ sıfıra gidemeyen , termodinamiğin üçüncü yasasına benzer , ki bu bir sistemin mutlak sıfırdaki entropisinin iyi tanımlanmış bir sabit olduğunu belirtir. Bunun nedeni sıfır sıcaklıktaki bir sistemin zemin durumunda bulunmasıdır. Ayrıca, $\ Delta S$ sıfır sıcaklıkta sıfıra ulaşacak, ancak $S$ kendisi de en azından mükemmel kristalli maddeler için sıfıra ulaşacaktır. Termodinamik yasalarının deneysel olarak doğrulanmış hiçbir ihlali henüz bilinmemektedir.

Yasaların yorumlanması

Kara delik mekaniğinin dört kanunu, bir kara deliğin yüzey ağırlığını sıcaklıkla ve olay ufkunun entropi ile alanını, en azından bazı çarpma sabitlerine kadar tanımlaması gerektiğini önermektedir. Eğer kişi sadece klasik olarak kara delikleri göz önüne alırsa, o zaman sıfır sıcaklığa sahiptir ve saçsız teoremle , ^[10] sıfır entropi ve kara delik mekaniğinin yasaları bir analoji olarak kalır. Bununla birlikte, kuantum-mekanik etkiler göz önüne alındığında, kara deliklerin bir sıcaklıkta termal radyasyon ( Hawking radyasyonu ) yaydığı bulunur.

{\ displaystyle T _ {\ text {H}} = {\ frac {\ kappa} {2 \ pi}}.}

Kara delik mekaniğinin birinci yasasından, bu Bekenstein – Hawking entropisinin çarpma sabitini belirler;

{\ displaystyle S _ {\ text {BH}} = {\ frac {A} {4}}.}

KARAR DELİKLERİN ÖTESİNDE

Gary Gibbons ve Hawking, kara delik termodinamiğinin kara deliklerden daha genel olduğunu, kozmolojik olay ufuklarının da entropi ve sıcaklığa sahip olduğunu göstermiştir.

Daha temelde, ‘t Hooft ve Susskind , karadelik termodinamiğinin yasalarını, tutarlı bir yerçekimi teorilerinin ve kuantum mekaniğinin daha düşük boyutlu olması gerektiğini iddia eden genel bir holografik doğa prensibini savunmak için kullandılar . Genel olarak henüz tam olarak anlaşılmasa da, holografik ilke, AdS / CFT yazışmaları gibi teorilerin merkezinde yer almaktadır . ^[19]

Kara delik entropisi ile sıvı yüzey gerilimi arasında da bağlantılar vardır . ^[20]

KAYNAKÇA

Carlip, S (2014). “Kara Delik Termodinamiği”. Modern Fizik D International Journal . 23(11): 1430023-736. arXiv : 1410.1486 . Önlük kodu : 2014IJMPD..2330023C . CiteSeerX 10.1.1.742.9918 . doi : 10.1142 / S0218271814300237 .
Bousso, Raphael (2002). “Holografik İlke”. Modern Fizik Yorumları . 74(3): 825-874. arXiv: hep-th / 0203101 . Bibcode:2002RvMP … 74..825B. doi:10.1103 / RevModPhys.74.825.
“Hawking Radyasyonun İlk Gözlem” dan Technology Review .
Matson, John (1 Eki 2010). “Yapay olay ufku, teorik kara delik radyasyonuna laboratuvar benzeri yayar” . Sci. Am .
Charlie Rose: bir konuşma Dr Stephen Hawking & Lucy Hawking Arşivlenen de 29 Mart 2013 Wayback Machine
Kısa Bir Tarih , Stephen Hawking, Bantam Kitapları, 1988.
Hawking, S.W (1975). “Kara deliklerle parçacık oluşturma”. Matematiksel Fizikte İletişim . 43 (3): 199-220. Önlük kodu : 1975CMaPh.43.199H . doi : 10.1007 / BF02345020 .
Majumdar, Parthasarathi (1999). “Kara Delik Entropisi ve Kuantum Yerçekimi”. Indian J. Phys . 73,21 (2): 147. arXiv : gr-qc / 9807045 . Bibcode : 1999 INJPB.73.147M .
Van Raamsdonk, Mark (31 Ağustos 2016). “Yerçekimi ve Dolaşıklık Dersleri”. Alanlarda ve Yaylılarda Yeni Sınırlar . ss. 297-351. arXiv : 1609.00026 . doi : 10.1142 / 9789813149441_0005 . ISBN 978-981-314-943-4.
Bhattacharya, Sourav (2007). “Pozitif Bir Kozmolojik Sabit İçin Kara Deliksiz Saç Teoremleri”. Fiziksel İnceleme Mektupları. 99(20): 201101.arXiv: gr-qc / 0702006 . Bibcode:2007PhRvL..99t1101B. doi:10.1103 / PhysRevLett.99.201101. PMID 18233129.
Strominger, A .; Vafa, C. (1996). “Bekenstein-Hawking entropisinin mikroskobik kökeni”. Fizik Mektupları B . 379 (1-4): 99-104. arXiv : hep-th / 9601029 . Bibcode : 1996PHLB.379 … 99S . doi : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00345-0 .
Rovelli, Carlo (1996). “Loop Quantum Gravity’den Kara Delik Entropisi”. Fiziksel İnceleme Mektupları . 77 (16): 3288-3291. arXiv : gr-qc / 9603063 . Bibcode : 1996PhRvL.77.3288R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.77.3288 . PMID 10062183 .
Ashtekar, Abhay; Baez, John; Corichi, Alejandro; Krasnov, Kirill (1998). “Kuantum Geometrisi ve Kara Delik Entropisi”. Fiziksel İnceleme Mektupları . 80 (5): 904-907. arXiv : gr-qc / 9710007 . Bibcode : 1998PhRvL..80..904A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.80.904 .
Bianchi, Eugenio (2012). “Döngü Yerçekiminden Extremal Olmayan Kara Deliklerin Entropisi”. arXiv : 1204.5122 [ gr-qc ].
Bekenstein, Jacob D. (1974-06-15). “Kara delik fiziğinde termodinamiğin genelleşmiş ikinci yasası”. Fiziksel İnceleme D. 9(12): 3292-3300. Bibcode:1974PhRvD … 9.3292B. doi:10.1103 / physrevd.9.3292. ISSN 0556-2821.
Wu, Wang, Yang, Zhang, Shao-Feng, Bin, Guo-Hang, Peng-Ming (17 Kasım 2008). “Genel gravite teorilerinde termodinamiğin genelleşmiş ikinci yasası”. Klasik ve Kuantum Yerçekimi . 25 (23): 235018. arXiv : 0801.2688 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/23/235018 .
Wald, Robert M. (2001). “Karadeliklerin Termodinamiği” . Görelilikte Yaşayan Yorumlar . 4 (1): 6. Bibcode : 2001LRR ….. 4 …. 6W . doi : 10.12942 / lrr-2001-6 . ISSN 1433-8351 . PMC 5253844 . PMID 28163633 .
Kallosh, Renata (1992). “Kozmik sansür olarak süpersimetri”. Fiziksel İnceleme D . 46(12): 5278-5302’de açıklanmaktadır. arXiv : hep-th / 9205027 . Bibcode : 1992PhRvD..46.5278K . doi : 10.1103 / PhysRevD.46.5278 .
Yetkili bir inceleme için bkz. Ofer Aharony; Steven S. Gubser; Juan Maldacena; Hirosi Ooguri; Yaron Oz (2000). “Büyük N alan teorileri, sicim teorisi ve yerçekimi”. Fizik Raporları . 323 (3-4): 183-386. arXiv : hep-th / 9905111 . Bibcode : 1999PhR … 323..183A . doi : 10.1016 / S0370-1573 (99) 00083-6 .
Callaway, D. (1996). “Yüzey gerilimi, hidrofobiklik ve kara delikler: Entropik bağlantı”. Fiziksel İnceleme E . 53 (4): 3738-3744’te tarif edilmektedir. arXiv : koşul-mat / 9601111 . Bibcode : 1996PhRvE.53.3738C . doi : 10.1103 / PhysRevE.53.3738 . PMID 9964684 .

KAYNAKLAR

Bardeen, JM; Carter, B .; Hawking, SW (1973). “Kara delik mekaniğinin dört kanunu”. Matematiksel Fizikte İletişim . 31 (2): 161-170. Bibcode : 1973CMaPh.31..161B . doi : 10.1007 / BF01645742 .
Bekenstein, Jacob D. (Nisan 1973). “Kara delikler ve entropi”. Fiziksel İnceleme D . 7 (8): 2333–2346. Bibcode : 1973PhRvD … 7.2333B . doi : 10.1103 / PhysRevD.7.2333 .
Hawking, Stephen W. (1974). “Kara delik patlamaları mı?” Doğa . 248 (5443): 30-31. Bibcode : 1974Natur.248 … 30H . doi : 10.1038 / 248030a0 .
Hawking, Stephen W. (1975). “Kara deliklerle parçacık oluşturma”. Matematiksel Fizikte İletişim . 43 (3): 199-220. Önlük kodu : 1975CMaPh.43.199H . doi : 10.1007 / BF02345020 .
Hawking, SW; Ellis, GFR (1973). Uzay-Zamanın Büyük Ölçekli Yapısı . New York: Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN 978-0-521-09906-6.
Hawking, Stephen W. (1994). “Mekanın ve Zamanın Doğası”. arXiv : hep-th / 9409195 .
Hooft, Gerardus (1985). “Karadeliğin kuantum yapısında” (PDF) . Nükleer Fizik B . 256 : 727-745. Bibcode : 1985 NuPhB.256..727T . doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90418-3 . 2011-09-26 tarihinde orijinalinden (PDF) arşivlendi .
Sayfa, Don (2005). “Hawking Radyasyon ve Kara Delik Termodinamiği”. Yeni Fizik Dergisi . 7 (1): 203. arXiv : hep-th / 0409024 . Bibcode : 2005NJPh …. 7..203P . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 7/1/203 .

[1] Carlip, S (2014). “Kara Delik Termodinamiği”. Modern Fizik D International Journal . 23(11): 1430023-736. arXiv : 1410.1486 . Önlük kodu : 2014IJMPD..2330023C . CiteSeerX 10.1.1.742.9918 . doi : 10.1142 / S0218271814300237 .

[Bousso_2002_825–874-2] Bousso, Raphael (2002). “Holografik İlke”. Modern Fizik Yorumları . 74(3): 825-874. arXiv: hep-th / 0203101 . Bibcode:2002RvMP … 74..825B. doi:10.1103 / RevModPhys.74.825.

[3] “Hawking Radyasyonun İlk Gözlem” dan Technology Review .

[4] Matson, John (1 Eki 2010). “Yapay olay ufku, teorik kara delik radyasyonuna laboratuvar benzeri yayar” . Sci. Am .

[5] Charlie Rose: bir konuşma Dr Stephen Hawking & Lucy Hawking Arşivlenen de 29 Mart 2013 Wayback Machine

[6] Kısa Bir Tarih , Stephen Hawking, Bantam Kitapları, 1988.

[7] Hawking, S.W (1975). “Kara deliklerle parçacık oluşturma”. Matematiksel Fizikte İletişim . 43 (3): 199-220. Önlük kodu : 1975CMaPh.43.199H . doi : 10.1007 / BF02345020 .

[8] Majumdar, Parthasarathi (1999). “Kara Delik Entropisi ve Kuantum Yerçekimi”. Indian J. Phys . 73,21 (2): 147. arXiv : gr-qc / 9807045 . Bibcode : 1999 INJPB.73.147M .

[vr-9] Van Raamsdonk, Mark (31 Ağustos 2016). “Yerçekimi ve Dolaşıklık Dersleri”. Alanlarda ve Yaylılarda Yeni Sınırlar . ss. 297-351. arXiv : 1609.00026 . doi : 10.1142 / 9789813149441_0005 . ISBN 978-981-314-943-4.

[arxiv.org-10] Bhattacharya, Sourav (2007). “Pozitif Bir Kozmolojik Sabit İçin Kara Deliksiz Saç Teoremleri”. Fiziksel İnceleme Mektupları. 99(20): 201101.arXiv: gr-qc / 0702006 . Bibcode:2007PhRvL..99t1101B. doi:10.1103 / PhysRevLett.99.201101. PMID 18233129.

[11] Strominger, A .; Vafa, C. (1996). “Bekenstein-Hawking entropisinin mikroskobik kökeni”. Fizik Mektupları B . 379 (1-4): 99-104. arXiv : hep-th / 9601029 . Bibcode : 1996PHLB.379 … 99S . doi : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00345-0 .

[Rovelli1996-13] Rovelli, Carlo (1996). “Loop Quantum Gravity’den Kara Delik Entropisi”. Fiziksel İnceleme Mektupları . 77 (16): 3288-3291. arXiv : gr-qc / 9603063 . Bibcode : 1996PhRvL.77.3288R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.77.3288 . PMID 10062183 .

[Ashtekar1997-14] Ashtekar, Abhay; Baez, John; Corichi, Alejandro; Krasnov, Kirill (1998). “Kuantum Geometrisi ve Kara Delik Entropisi”. Fiziksel İnceleme Mektupları . 80 (5): 904-907. arXiv : gr-qc / 9710007 . Bibcode : 1998PhRvL..80..904A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.80.904 .

[Bianchi2012-15] Bianchi, Eugenio (2012). “Döngü Yerçekiminden Extremal Olmayan Kara Deliklerin Entropisi”. arXiv : 1204.5122 [ gr-qc ].

[:0-16] Bekenstein, Jacob D. (1974-06-15). “Kara delik fiziğinde termodinamiğin genelleşmiş ikinci yasası”. Fiziksel İnceleme D. 9(12): 3292-3300. Bibcode:1974PhRvD … 9.3292B. doi:10.1103 / physrevd.9.3292. ISSN 0556-2821.

[17] Wu, Wang, Yang, Zhang, Shao-Feng, Bin, Guo-Hang, Peng-Ming (17 Kasım 2008). “Genel gravite teorilerinde termodinamiğin genelleşmiş ikinci yasası”. Klasik ve Kuantum Yerçekimi . 25 (23): 235018. arXiv : 0801.2688 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/23/235018 .

[18] Wald, Robert M. (2001). “Karadeliklerin Termodinamiği” . Görelilikte Yaşayan Yorumlar . 4 (1): 6. Bibcode : 2001LRR ….. 4 …. 6W . doi : 10.12942 / lrr-2001-6 . ISSN 1433-8351 . PMC 5253844 . PMID 28163633 .

[High_Energy_Physics_-_Theory-19] Kallosh, Renata (1992). “Kozmik sansür olarak süpersimetri”. Fiziksel İnceleme D . 46(12): 5278-5302’de açıklanmaktadır. arXiv : hep-th / 9205027 . Bibcode : 1992PhRvD..46.5278K . doi : 10.1103 / PhysRevD.46.5278 .

[20] Yetkili bir inceleme için bkz. Ofer Aharony; Steven S. Gubser; Juan Maldacena; Hirosi Ooguri; Yaron Oz (2000). “Büyük N alan teorileri, sicim teorisi ve yerçekimi”. Fizik Raporları . 323 (3-4): 183-386. arXiv : hep-th / 9905111 . Bibcode : 1999PhR … 323..183A . doi : 10.1016 / S0370-1573 (99) 00083-6 .

[21] Callaway, D. (1996). “Yüzey gerilimi, hidrofobiklik ve kara delikler: Entropik bağlantı”. Fiziksel İnceleme E . 53 (4): 3738-3744’te tarif edilmektedir. arXiv : koşul-mat / 9601111 . Bibcode : 1996PhRvE.53.3738C . doi : 10.1103 / PhysRevE.53.3738 . PMID 9964684 .